数学教学方案【优秀9篇】

学生学习离不开方程，求一元一次方程和一元二次方程的根十分必要。什么是一元一次方程的根呢？下面是小编精心为大家整理的9篇《数学教学方案》，如果能帮助到您，差异网将不胜荣幸。

数学教学方案 篇一

教学目标：

1、进一步巩固对长度单位的实际感知，巩固测量的方法，培养学生的动手能力和解决实际问题的能力，培养学生互相合作的精神。

2、使学生进一步巩固对统计知识的掌握，并通过统计表获得一些有用的信息。

3、培养学生合作交流的意识和能力。

教学重点：

动手测量生活中的物体的长度，增强学生的动手能力，训练学生的合作精神。

教学难点：

在教学活动中有效组织和调控学生的实践活动。

教学准备：

实物投影、卷尺、直尺、米尺，可以测量身高的体重秤，学生记录统计表

教学过程：

一、提出问题引入活动

问：你们想知道你的身高是多少？你的两手身开有多长？你的步长是多少？教室的门宽是多少？窗户宽是多少吗？怎样做就可以知道这些答案呢？

[设计意图]：提出问题，为活动的进行做好准备，激发学生的学习积极性。

二、实践活动

1、测量身高。你的身高是多少？我们怎样做就可以知道？我们班谁最高？谁最矮？哪个高度的人最多？你有什么办法可以让我们很清楚的'知道这些问题的答案？学生思考后回答：可以使用统计表让我们非常清楚的知道同学们的身高情况。认识统计表。用测量工具测量身高。一边测量一边计录。测量完后进行讨论交流。观察统计表，在小组内交流从表中了解的信息。指名回答。

2、测量活动。小组同学商量一下，你们想测量什么？学生进行测量。教师巡视、指导，注意引导学生使用正确的测量方法，尺子的首末端要放在正确的位置上。学生汇报测量情况。

[设计意图]：通过统计表获得有用的信息。巩固测量方法，建立长度观念。培养合作交流的意识和能力。

三、课堂总结：

通过今天的实践活动，你有什么收获？学生谈收获。

数学教学方案 篇二

一、学情分析

四年级的学生，经过前面三年的学习，已经具备了初步的逻辑思维能力和简单的抽象概括能力，养成了一些良好的学习习惯，掌握了一些科学的方法，学会独立思考和与人沟通、协商、合作、交流的能力，学会探究问题，并能根据具体情况提出合理的问题，还能正确解决问题。无论是理解的能力还是分析、解决问题的能力都有所提高。

具体到我们班，大部分孩子基础扎实，学习态度端正，掌握的基础知识也比较牢固，但有少部分学生学习态度不够端正，学习基础比较薄弱，上课听到的知识，课后不会运用，作业的正确率低，特别是有2个学生，不仅智力低下，学习习惯也很差，不肯按时完成作业，喜欢拖拉，家庭作业更是不做。因此，本学期的数学课，要重点培养学生对数学的学习兴趣，让学生善于思考、乐于思考、不怕错误、具有问题意识，也要培养学生快乐学习数学的心态，养成良好的学习习惯，相信孩子们会愉快地完成数学学习，在各个方面更上一层楼。

二、教材分析

这一册教材包括以下一些内容：大数的认识，三位数乘两位数，除数是两位数的除法，公顷和平方千米，角的度量，平行四边形和梯形的认识，条形统计图，数学广角，用数学解决问题，综合与实践主题活动等。

其中“公顷和平方千米”是从实验教材三年级下册第六单元“面积”中移至本册的，安排在大数的认识单元后，以便学生结合大数的认识，充分感知、体会这两个大的'面积单位。“条形统计图”原来分散在实验教材第一学段的不同年级，现移至第二学段本册，将原来单式条形统计图的内容重新梳理，整合为一个单元进行教学。

大数的认识、三位数乘两位数、除数是两位数的除法、角的度量、平行四边形和梯形的认识是本册教材的重点教学内容。

本册教材的教学目标是，使学生：

1.认识计数单位“十万”“百万”“千万”“亿”“十亿”“百亿”“千亿”，认识自然数，掌握十进制计数法，会根据数级读、写亿以内和亿以上的数，会根据要求用“四舍五人”法求一个数的近似数。体会和感受大数在日常生活中的应用，进一步发展数感。

2.会笔算三位数乘除两位数的乘法、除数是两位数的除法，会进行相应的乘、除法估算和验算。

3.会口算整十数除整十数、整十数除几百几十数。

4、认识面积单位公顷和平方千米。知道公顷、平方千米之间的进率，会进行简单的单位换算。

5.认识直线、射线和线段，知道它们的区别；认识常见的几种角，会比较角的大小，会用量角器量出角的度数，能按指定度数画角。

6.认识垂线、平行线，会用直尺、三角板画垂线和平行线；掌握平行四边形和梯形的特征。

7，认识条形统计图(以1代多)，会用条形统计图来描述数据，能根据条形统计图回答并提出简单的问题，并能进行简单的数据分析。

8.经历从实际生活中发现问题、提出问题、解决问题的过程，体会数学在日常生活中的作用，形成从生活中发现数学问题的意识，初步形成观察、分析及推理的能力。

9.体会学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。

10.养成认真作业、书写整洁的良好习惯。

三、教学措施

1、大数的认识要突出数的概念教学，重视数感的培养。具体应该注意下面几点：

(1)通过多种方式，丰富学生对大数的感受。

(2)加强数概念教学，突出我国的计数规律。

(3)配合学习内容，介绍数学的背景知识。

2、适当改进计算教学内容的编排，注重培养学生灵活的计算能力。主要体现在以下三个方面：

(1)加强笔算教学。

(2)结合笔算教学，渗透口算、估算、简算等计算方式。

(3)加强对计算法则的总结和计算规律的提炼。

3、图形与几何的教学，注重对概念和图形的本质特征的认识。主要突出以下几点：

(1)以学生已有知识和经验为基础，帮助学生理解所学知识。

(2)采用适当方式，让学生体会概念和图形的本质特征。

(3)设计一些有趣的、活动性较强的习题，让学生进一步感受图形的特征。

4、加强统计知识的教学，培养学生的数据分析观念。

(1)利用学生已有的知识和经验学习新的统计知识。

(2)培养学生的数据分析观念。

(3)设计贴近学生生活实际的学习活动，让学生感受统计的现实意义。

5、渗透数学思想方法，让学生感受并体验数学思想方法在解决问题中的作用。

四、进度安排

略

数学教学方案 篇三

学习目标

①认识“县、济、匠”等10个生字。会写“县、设”等14个字。能正确读写“设计、参加、雄伟”等23个词语。

②正确、流利、有感情地朗读课文，背诵自己喜欢的段落。

③了解赵州桥的结构特点和建筑特色，感受我国古代劳动人民的智慧和才干，增强民族自豪感。

课前准备

①多媒体课件。

②生字生词卡片。

③搜集反映我国古代劳动人民智慧和才能的资料及有关桥梁的资料。

第一课时

谈话导入

赵州桥是我国宝贵的历史遗产，它是我国古代劳动人民智慧的结晶。今天，就让我们一起走近赵州桥，揭开它那神秘的面纱。教师板书课题。学生齐读课题。

活动引路，读文识字

①开展读书“闯关”活动。

a.“闯关”总动员。讲清方法及规则，共设三关：字音关(读准字音)、句子关(读通句子)、感情关(有感情地朗读课文)。同座两人互为“闯关员”与“守关员”。每闯一关得一面小旗。

b.学生自主读书，做“闯关”准备。(遇到生字新词，通过查阅工具书自行解决)

c.同座分别“闯关”。一次没有闯过关者可以练习后再“闯关”。

②开展读书“展示会”活动。

a.“我会认”。卡片抽读生字词：横跨、创举、坚固、石栏、同首遥望、图案、设计、雕刻、智慧。

b.“我会读”。指名按自然段读课文。教师了解读书情况，相机纠正字音。

c.“我想读”。谁想读谁就站起来读。(侧重指导学生用高兴的语气读课文第三自然段和用自豪的语气读最后一段)

巩固认字，指导写字

①“说”字。请同学当“小老师”，帮助大家明确写每个字的注意点。

②“写”字。“小老师”在田字格内示范写生字。大家在练习本上写字。

③“查”字。同座互相查写的`字。

作业

抄写词语；朗读课文。

第二课时

复习字词

听写词语。听写后自己对照课文批改、订正。

品读课文

①紧扣主线，研读课文。读课文，想一想，再填空：赵州桥是一座()的桥。

②交流汇报，感悟课文。

a.历史悠久的桥。引导学生读一读文中的相关语句。

b.雄伟坚固的桥。引导学生通过读文中的语句或画赵州桥的结构示意图来加以说明。

c.非常美观的桥。引导学生用多种琖来感悟文字，可以读一读，演一演，还可以引导学生想象龙的其他形态。

③上下联系，整合课文。选择赵州桥留给你印象最深的两个特点，用“不但……而且……”连起来说一说。

④课件展示：赵州桥今日的风貌，激发学生的自豪感。

⑤熟读成诵，内化课文。让学生背诵自己喜欢的部分。

拓展活动

①交流有关桥梁的资料。

②有兴趣的，可以了解家乡的古建筑或家乡的桥梁。

提示综合性学习

①说说开展了哪些活动，了解了哪些中华传统文化。

②提醒学生注意整理资料，商量商量怎样展示成果。

作业

抄写第三自然段。

数学教学方案 篇四

活动目标：

1、进一步巩固对图形和图形标记的认识。

2、通过操作活动，练习将图形按类放入分类图中。

3、在活动结束后，学习按要求整理材料，养成良好的操作习惯。

活动准备：

各种图形标记及图形。三幢房子

活动过程：

一、复习图形

教师分别出示三种图形，提问。

1、今天老师带来了三个图形，看看说说他们是准呀，为什么？

2、 这个图形叫什么名字？你怎么知道它叫三角形的'？

3、这个图形叫什么名字？你怎么知道它叫圆形的？

4、这个图形叫什么名字？你怎么知道它叫方形的？

5、小结：小朋友真聪明，这些图形都认识呀。

二、复习图形标记

老师给图形宝宝做了标记，给圆形做的什么标记？ 给三角形，给正方形呢？

三、送图形回家，认一认，读一读

1、这儿有三张小床，床上有什么呀？

2、图形宝宝和我们做朋友了，我先和它打个招呼，三角形好摸一摸有三个角，三条边，藏手心里玩一玩，亲一亲，三角形玩累了，想休息了，三角形标记，刚才老师读了什么好听的话，一起玩，我还想听听。

四、幼儿操作活动

1、这儿还有许多图形宝宝和你们做朋友呢，愿意吗？（发）这是什么图形？（可要有礼貌呀，先和图形宝宝打个招呼，再摸摸边，角，数一数边角，亲一亲。

2、图形宝宝玩累了要休息，先想想你要说怎样，好听的话来一起去送图形宝宝休息哟，可别忘了说句好听的话。

教师巡回指导

3、小结，我们来检查一下，小朋友送得对吗？

五、活动讲评

展示幼儿作品，请个别幼儿讲述自己的活动过程。

数学教学方案 篇五

【教材分析】

认识厘米和用厘米量。重要的是让学生了解长度单位—厘米的实际长度。并能够在实际中应用。教材先说明尺子的用处，之后让学生看着自己的小尺子，认识1厘米、2厘米……的长度。例1，是用尺子录图钉的长度。使学生初步感知1厘米的大致长度。例2.安排了让学生录一条线段和录自己手指宽度的实际动手活动。让每一个学生都清楚1厘米到底有多长。以加深学生对厘米的认识。例3.是量纸条的长度。使学生知道量物体长度的方法。通过例题和综合应用练习。使学生初步学会量物体的长度。为了突出重点，突破难点。在本课的设计上。主要突出以下几点：

1.顺应学生认知规律。渗透学法。

本课认识I厘米和几厘米。建立1厘米的长度概念。用厘米量三个知识点的教学。我都按照“观察感知、操作成像、抽象概括、实践创造”的模式进行。创设一系列的情境。调动学生积极参与教学实践，水到渠成地掌握新知。

2.教师指导学生操作细致、到位。使学生的多种感官协同活动。形成技能。

3.面向全体学生。使学生生动活泼地学习。

【学情分析】

本节课学习长度单位厘米和用厘米录。学生对物体的长度己有初步的认识。但这节课是认识长度单位的开始，必须借助学生的生活经验。提供丰富的感知材料帮助学生初步建立长度概念。

学会录长度的基本方法。教学重点是让学生认识长度单位厘米。

并能够在实际中运用。教学难点是根据二年级学生的特点。建立1厘米的长度概念。

【教学目标】

1.使学生筛得测最物体的长度要用尺子，认识长度单位厘米，初步建立1厘米的长度概念。并学会用厘米录比较短(整厘米长)的物体的长度。

2.在实际观察和操作中。培养学生的观察能力，动手操作能力和空间想象能力。使学生养成细心、认真的习惯。初步感受知识来源于实践并应用于实践的观点。

3.积极参与数学学习活动。对数学有好奇心与求知欲。在数学学习活动中体验数学活动充满着探索与创造。获得成功的体验。建立自信心。

【教学准备】

教师准备：电脑课件、实物投影、学生尺子。学生指、比、找所用的卡片。

学生准备：学生尺子、剪刀、图钉、线、宽I.厘米的白纸条、小棒、彩条卡片(黄彩条长8厘米。红彩条长5厘米)、边长是1厘米的小方块、数字卡片、反馈牌等。

【教学过程】

一、问题引入

电脑显示：两条线段。一根长10厘米。竖放；另一根长11厘米。横放。请同学们猜一猜。这两条线段。哪根长？哪根短？

学生可能猜竖放的长。也可能猜两根一样长。

设问：用什么办法可以准确地知道它们的长度呢？

【设计意图】：开课。通过比较线段的长短。使学生回忆己有的生活经验，从而得出要知道物体的长度。需要用尺子最。

二、探究新知

(一)认识刻度尺教师提出问题，折导学生分组讨论。

电脑显示讨论题：

1.拿出你们的尺子。认真观察。比一比、找一找有哪些地方是相同的？

2.关于这些共同点。你们想知道什么？

学生分组讨论。教师参与到学生讨论中。

3.学生汇报讨论结果。

4.师生评价解答学生提出的`问题。

【设计意图】：从学生天天使用的尺子入手。让学生看一看、指一指、比一比、说一说、找一找。指导学生在生动愉悦的气氛中学会观察、学会分析。学会从变化多样的表象中把握事物的本质。同时也提供学生主动提出问题的契机。便于学生进入积极探求新知的状态中。

(二)认识厘米1.1厘米有多长？请大家尝试着在尺子上指出来。

2.电脑显示从0到1，从1到2.从2到3……每段的长都是I厘米。通过认真观察，你发现了什么？

总结出：每相邻两条较长的刻度线之间的长度都是1厘米。

3.从0到2.这两条刻度线之间有几厘米？从0到3呢？从0到5呢？你的尺子上一共有多少厘米？你是怎样看出来的？你可得出什么结论？

元一次方程求根公式 篇六

由于一元一次方程是基本方程，故教科书上的解法只有上述的方法。

但对于标准形式下的一元一次方程：ax+b=0 (a≠0)。

可得出求根公式

数学教学方案 篇七

教材分析

本课将引导学生制订一个班级总的研究计划，然后再根据自己的研究项目制订小组研究计划。让学生知道自己的研究与班级总体目标的关系，加深体验科学研究的分工合作。

学情分析

造成小金鱼死亡的相关因素非常多，不同的学生有不同的志趣，我们应该引导学生根据自己的兴趣选择不同的主题进行分组研究。六年级的学生已经养成了分工合作的习惯，教师要注意引导学生小组间相互交流，取长补短。

学习目标

1.知道小组研究与班级总的专题研究的关系，树立合作的意识。

2.能根据自己选择的研究主题制订可行的研究计划。

教学重难点

制订合理、可行的计划是研究取得成功的保证。

评价任务

制订一份专题研究方案。

教学准备

为各小组专题研究计划准备表格。

教学过程

一、进行专题研究总动员

1.谈话：在上节课，我们同学就造成小金鱼死亡的原因进行了初步推测，大家谈到了水质、水温、放养密度、鱼食投放量等因素都有可能造成金鱼死亡。在今天开始我们的研究之前，同学们利用课余时间了解了哪些影响金鱼生存的新信息？

(以上谈话及询问，一方面获取学生收集到的上节课没有谈到的影响金鱼存活的因素，另一方面可以利用这一机会，交流学生收集到的与水质、水温、放养密度、鱼食投放量等因素有关的详细信息。这为下一步全面和深入地开展研究设计活动奠定了良好的认识基础。)

2.学生汇报、交流各自掌握的相关情况。

(学生汇报过程中，教师可抓住发言中的关键词进行摘要性地记录，为学生后期制定研究计划的针对性和条理化做好引导性工作。)

3.谈话：同学们根据自己的以往经验或收集到的资料对造成小金鱼死亡的原因已经有了一个间接的认识。为了获得第一手确凿的证据，查出造成小金鱼死亡的真正原因，创造一个舒适的环境，让小金鱼生活得更好，我建议我们班开展一个小金鱼生存环境的研究。大家认为这项研究可以从哪些方面展开，通过哪些方式展开呢？现在请同学们以小组为单位讨论一下。

4.学生分小组讨论，教师到部分小组进行必要的提示或指导。

(教师到小组个别指导，可以引导学生将可能造成小金鱼死亡的因素与研究小金鱼生存环境联系起来，以便形成相关的具体研究方向。)

5.教师邀请学生汇报其讨论结果，并帮助学生梳理出相关可研究的课题及研究方法。

6.讲述：当我们明确了可以开展研究的专题，以及可以采用的研究方法后，我们可以有步骤地来开展研究活动了。如制定计划、设计实验、收集数据、分析数据、做出结论、撰写报告等。在大家开展自己的研究工作前，老师送大家两件“法宝”，一件法宝是交流，另一件法宝是帮助。希望在研究中，同学之间、小组之间要及时交流、勤于交流，当遇到困难时，大家要互相帮助。

(班级总的研究计划并没有要求学生完全由自己讨论设计完成，其中有很多教师引导和指导的成分。其目的不是要替代学生进行设计活动，而是把时间和精力投入到后面具体专题的研究设计中。这样处理既能保证后续活动有效进行，又能保证后续活动深入进行。)

二、引导学生分析和自主选择研究主题

1.谈话：开展不同的研究专题需要做不同的准备，比如研究水温变化对金鱼的影响，需要三个能控制水温的水族箱。那么其他研究专题又需要哪些条件呢？

2.学生发表各自意见，教师引导学生之间相互评价、补充，形成相对完善和统一的认识。

(明确活动所需条件的过程，实质上也是思考研究方法的过程，因此，充分地开展好这一活动，也是为后续制定研究计划铺平道路。)

3.谈话：在这次研究小金鱼生存环境的任务中，不仅需要我们从多个小专题去开展研究活动，而且每项专题又涉及不同的活动材料，一个人的力量非常有限，需要多人进行分工与合作。为了让我们这次研究取得成功，现在，我们按照自己的条件和兴趣选择一个合适的主题进行研究。每一个专题同学们可以形成一个小组，也可以根据情况组成多个小组，下面就请同学们自由组合组成研究小组。

4.学生自由组合研究小组。

(教师可根据学生实际情况帮助学生建立合理的分组，做到能力均衡、人数合理。避免出现能力上相近的同学“扎堆”，要兼顾那些能力较低的学生参与到各小组中。如果条件允许，每个小组的人数以5-8人为宜，人数过多任务可能落实不到人，过少又不能充分体现分工的价值。每个专题有多个小组共同研究，还能增强实验的可靠性，避免因偶然因素的影响导致实验结果的不准确情况的发生。)

三、小组讨论各自研究计划

1.谈话：我们按照自己的条件和兴趣已经分成了不同的研究小组，现在，我们各小组需要商量出各自的研究计划，以便有条理地完成各自的研究专题。你们认为各自小组的研究计划应该考虑哪些问题？

2.学生个别发言，教师做简单的板书记录。

(教师根据学生发言所做的记录应注意条理性，可以按照研究计划应进行的步骤在黑板上有顺序地表达出来，使得最后的板书记录就能成为专题研究计划的主要栏目。)

3.讲述：制定一项研究的计划，我们一般要涉及研究主题、小组成员及分工、研究目标、对研究主题的思考和分析、研究方法、研究过程以及注意事项等几个方面。下面，大家就围绕这几个方面商量自己的研究计划。

4.教师向个小组分发事先准备好的专题研究计划表格，学生商讨制定计划。

(专题研究计划的设计可以参考教材第47页的内容。教师在学生制定计划的`过程中可到各小组进行指导，并把重点放在研究过程的设计指导上。)

四、交流并完善计划

1.在大多数小组制定好大致研究计划的基础上，教师邀请一个小组向大家交流他们的研究计划。

2.谈话：你们认为刚才这个小组汇报的研究计划有哪些地方考虑的比较详细，哪个环节的设计还存在不足？

3.引导学生相互之间进行评说，并将评说的重点放在研究过程的设计评说上。

4.讲述：在研究过程的设计中，尤其是采用实验方法进行研究的小组应该注意，采用对比实验的方法更容易发现问题。只是设计对比实验我们一定要把握好对比实验的要点，那就是对比条件的选择，无论是对照组实验还是控制组实验，只有对比条件不同，而其他条件都要保持一致。同学们对照这一点，检查一下自己的研究过程设计，进行相应的调整和完善。

5.在学生针对研究过程修改完善的基础上，教师邀请其他专题的小组汇报各自研究计划。在引导学生相互交流评价的过程中，让研究小组间取长补短，进一步全面完善自己的研究计划。

6.讲述：为了解开“金鱼之死”的谜团，我们今天制定了各自的“侦破方案”。课后，请同学们做好实验侦破前的准备。预祝大家研究顺利，侦破成功！

元一次方程解法步骤 篇八

一、去分母

做法：在方程两边各项都乘以各分母的最小公倍数；

依据：等式的性质二

二、去括号

一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，可根据乘法分配律（记住如括号外有减号或除号的话一定要变号）

依据：乘法分配律

三、移项

做法：把方程中含有未知数的项都移到方程的一边（一般是含有未知数的项移到方程左边，而把常数项移到右边）

依据：等式的性质一

四、合并同类项

做法：把方程化成ax=b(a≠0)的形式；

依据：乘法分配律（逆用乘法分配律）

解方程步骤

解方程步骤

五、系数化为1

做法：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a。

依据：等式的性质二

数学教学方案 篇九

二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

一般式

y=ax+bx+c(a0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b2)/4a) ;

顶点式

y=a(x+m)2+k(a0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)2+k(a0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；

交点式

y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线] ;

重要概念：a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小，a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。

牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)

y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距)

求根公式

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

求根公式

x是自变量，y是x的二次函数

x1,x2=[-b((b^2-4ac))]/2a

(即一元二次方程求根公式)(如右图)

求根的方法还有因式分解法和配方法

在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

不同的二次函数图像

如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。

注意：草图要有 1本身图像，旁边注明函数。

2画出对称轴，并注明X=什么

3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的性质

轴对称

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

顶点

2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，4ac-b^2;)/4a )

当-b/2a=0时，P在y轴上；当= b^2;-4ac=0时，P在x轴上。

开口

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

决定对称轴位置的因素

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号

当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab 0 )，对称轴在y轴右。

事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的'交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

决定抛物线与y轴交点的因素

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)

抛物线与x轴交点个数

6.抛物线与x轴交点个数

= b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。

= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

_______

= b^2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -bb^2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)

当a0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b在{x|x-b/2a}上是减函数，在

{x|x-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y4ac-b^2/4a}相反不变

当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a0)

特殊值的形式

7.特殊值的形式

①当x=1时 y=a+b+c

②当x=-1时 y=a-b+c

③当x=2时 y=4a+2b+c

④当x=-2时 y=4a-2b+c

二次函数的性质

8.定义域：R

值域：(对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a，

正无穷);②[t，正无穷)

奇偶性：当b=0时为偶函数，当b0时为非奇非偶函数。

周期性：无

解析式：

①y=ax^2+bx+c[一般式]

⑴a0

⑵a0，则抛物线开口朝上；a0，则抛物线开口朝下；

⑶极值点：(-b/2a，(4ac-b^2)/4a);

⑷=b^2-4ac,

0，图象与x轴交于两点：

([-b-]/2a，0)和([-b+]/2a，0);

=0，图象与x轴交于一点：

(-b/2a，0);

0，图象与x轴无交点；

②y=a(x-h)^2+k[顶点式]

此时，对应极值点为(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a;

③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a0)

对称轴X=(X1+X2)/2 当a0 且X≧(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a0且X≦(X1+X2)/2时Y随X

的增大而减小

此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连

用)。

交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。

26.2 用函数观点看一元二次方程

1. 如果抛物线 与x轴有公共点，公共点的横坐标是 ，那么当 时，函数的值是0，因此 就是方程的一个根。

2. 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

26.3 实际问题与二次函数

在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。

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