《多边形》教学设计（优秀8篇）

多边形由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的平面图形叫做多边形，读书破万卷下笔如有神，以下内容是差异网为您带来的8篇《《多边形》教学设计》，在大家参考的同时，也可以分享一下差异网给您的好友哦。

多边形 篇一

教案

柳州市第十二中学

课题

探索多边形内角和

教学目标

知识目标

1.探索多边形内角和定义、公式

2.正多边形定义

能力目标

1.发展学生的合情推理意识、主动探索的习惯

2.发展学生的说理能力和简单的推理意识及能力

德育目标

培养用多边形美花生活的意识

教学重点

多边形内角和公式的推导

学难点

多边形内角和公式的简单运用

教学方法

探索、讨论、启发、讲授

教学手段

利用学生剪纸、投影仪进行教学

教学过程 ：

一、引入：

1、出示多媒体投影片或出示事物图：正方形石英钟、五边形（广场图）、六变形螺母、八边形。

2、给出多边形概念：多边形的顶点、边、内角和、对角线及其有关概念。

二、多边形内角和公式：

1、三角形的内角和是多少度？任意四边形的内角和是多少度？怎样得到的？那么五边形的内角和怎样求呢？要求学生剪纸或画图找出五边形可剪成多少个三角形求内角和？六边形可怎样剪成三角形？n边形呢？

2、学生讨论：在剪纸及画图活动中充分的探索、交流、体会，先独立思考，然后小组讨论、交流，发表不同见解。探索五边形内角和的不同方法：（学生可能得出如图一、图二、图三中的不同方法）

（1）量出每个内角度数然后相加为540°；

(2)从五边形的任一顶点出发，连结不相邻的两个顶点，将五边形分割成三个三角形，得出五边形内角和为540°(如图一)；

(3)在五边形内任取一点，连结各顶点，将五边形分割成五个三角形，得出五边形内角和为5×180°-360°=540°(如图二)；

(4)从五边形任意一边上取一点，连接不相邻的顶点，将五边形分割成四个三角形内角和为4×180°-180°=540°(如图三)；

（5）六边形可怎样剪成三角形求内角和？n边形呢？

（6）总结规律：多边形内角和为(n-2)×180°(n≥3)。

3、议一议：

（1）过四边形一个顶点的对角线把四边形分成两个三角形；

（2）过五边形一个顶点的对角线把五边形分成(  )个三角形；

（3）过六边形一个顶点的对角线把六边形分成(  )个三角形。

（4）过n边形一个顶点的对角线把n边形分成(  )个三角形；

二、正多边形定义：

1、  出示课本第109页想一想图：（思考，图中的多边形各是几边形，它们的边和角有什么特点）

2、多边形定义：在平面内，内角都相等，边也相等的多边形是正多边形。

3、填表：

正多边形的边数

3

4

5

6

8

…

n

正多边形的内角和

180°

360°

540°

720°

1080°

…

正多边形每个内角的度数

60°

90°

108°

120°

135°

…

四、小结：主要表扬本节课同学们很善于思考，对所学知识应用得很好，做得好的小组及他们做得好的地方。

五、布置作业 ：

课本P110、习题4、10  第1、2、3题。

附：选用随堂练习：

1、一个多边形的每个内角都是140º，它是（   ）边形？

2、过四边形一顶点的对角线把它分成两个三角形，过五边形一个顶点的对角线把它分成（       ）个三角形。

3、过六边形的一个顶点的对角线把它分成（       ）个三角形，过n边形的一个顶点的对角线把n边形分成（      ）个三角形。

4、一个多边形的每个内角都是140°，这个多边形是（       ）边形。

5、如果一个多边形的边数增加1，那么这时它的内角和增加了（      ）度。

6、下列角能成为一个多边形的内角和的是（       ）

A、270°       B、560°       C、1800°       D、1900°

思考题：如图(1)，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于多少度？

F

E

C

A

G

如图(2)，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G等于多少

F

E

D

A

B

C

图(1)                                  图(2)

D

多边形 篇二

教学设计示例1

教学目标 ：

（1）了解用量角器等分圆心角来等分圆；掌握用尺规作圆内接正方形和正六边形，能作圆内接正八边形、正三角形、正十二边形；

（2）通过画图培养学生的画图能力；

（3）对学生进行审美教育，提高学生的审美能力，促进学生对几何学习的热情。

教学重点：

(1)量角器等分圆心角来等分圆；

(2)尺规作圆内接正方形和正六边形。

教学难点 ：

准确作图。

教学活动设计：

（一）提出问题：

由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会应是学生必备能力之一。

问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形。

教师组织学生进行，方法不限。

目的：充分发展学生的发散思维。

（二）解决问题：

以下为解决问题的参考方案：(上课时教师归纳学生的方法)

(1)度量法：①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°.

②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.

(2)尺规法：（如上右图）用圆规在⊙O上截取长度等于半径（2cm）的弦，连结AB、BC、CA即可。

(3)计算与尺规结合法：由正三角形的半径与边长的关系可得，正三角形的边长= R=2（cm），用圆规在⊙O上截取长度为2（cm）的弦AB、AC，连结AB、BC、CA即可。

（三）研究、归纳

1、用量角器等分圆：

依据：等圆中相等的圆心角所对应的弧相等。

操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大。

问题2：把半径为2cm⊙O九等份。

（先画半径2cm的圆，然后把360°的圆心角9等份，每一份40°）

归纳：用量角器等分圆，方法简便，可以把圆任意n等分，但有误差。

2、用尺规等分圆：

（1）问题3：作正四边形、正八边形。

教师组织学生，分析、作图。

归纳：只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……

（2）问题4：作正六、三、十二边形。

教师组织学生，分析、作图。

归纳：先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画。

（四）总结

（1）用量角器等分圆周作正n边形；

（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形、用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形。

（五）作业  教材P173中13.

教学设计示例2

教学目标 ：

1、能应用解决实际问题；会画正五边形的近似图；了解等分圆的美丽图形；

2、通过运用正多边形的有关计算和画图解决实际问题培养学生分析问题、解决问题的能力；

3、对学生进行审美教育和文化传统教育和爱国教育；

4、渗透数学建模思想。

教学重点：

应用正多边形的计算与画图解决实际问题。

教学难点 ：

数学模型的建立，和正多边形的有关计算问题。

教学活动设计：

（一）知识回顾：

分别画半径2cm的圆内接正六边形、内接正三角形、内接正十二边形、内接正方形、内接正八边形。

要求①尺规作图；②说明画法；③指出作图依据；④学生独立完成。

教师巡视，对画的好的学生给于表扬，对有问题的学生给于指导。

（二）画图应用：

例1、有一个亭子，它的地基是半径为4m的正八边形，(1)用1∶200的比例尺画出地基平面图；(2)求地基的边长a8(精确到0.01m)和面积S8(精确到0.1m2)

教师引导学生分析：①比例尺= ；②正八边形的半径R=2cm；③如何解正八边形和近似计算。

（1）画法：1.以任意一点O为圆心，以4m的 ，即2cm为半径画⊙O(如图).

2.作⊙O的直径AC、BD，使AC⊥BD.

3.作平分 、的直径EG、FH.

4.顺次连结AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA.

八边形AEBFCGDH就是亭子地基的正八边形。

（2）解（学生分析解题方法）：

（m）

（m）

（m2）

答：（略）

我国民间相传有五边形的近似画法，画法口诀是：“九五顶五九，八五两边分”，它的意义如图：如果正五边形的边长为10，作它的中垂线AF，取AF=15.4，在AF上取FM=9.5，则AM=5.9，过点M作BE⊥AF，在BE上取BM=ME=8.连结AB、BC、DE、EA即可。

例2、用民间相传画法口诀，画边长为20mm的正五边形。

分析：要画边长20mm的正五边形，关键在于计算出口诀中各部分的尺寸，由于要画的正五边形与口诀正五边形相似，所以要画的正五边形的各部分应与口诀正五边形各部分对应成比例。由已知知道要画正五边形的边CD=20mm.请同学们算出各部分的尺寸，并按口诀画出正五边形ABCDE.

（画法：略。参看教材P170）

说明：虽然这种画法是近似画法，但是这种画法的精确度却是很高的。有能力的学生课下可以探究和计算。

通过正五边形的民间近似画法的教学弘扬民族文化，揭示其科学性，渗透实践出真知的观点。

（三）优美图案欣赏和画法：

请学生欣赏下列图案，分析图案结构，画出图案。

组织学生进行，可以让学生独立完成，也可以让学生协作完成，对画的较好的同学给予表彰。

（四）总结

1、运用正多边形的知识解决实际问题；

2、学习了民间画正五边形的近似画法；

3、学习了分解与组合有关正多边形的几何图案。

（五）作业

教材P171中练习1；P173中12；P173中14.

探究活动

图案设计

某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花园，并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉。为了美观，种植要求如下：

（1）种植4块面积相等的牡丹、4块面积相等的月季和一块杜鹃。（注意：面积相等必须由数学知识作保证）

（2）花卉总面积等于广场面积

（3）花园边界只能种植牡丹花，杜鹃花种植在花园中间且与牡丹花没有公共边。

请你设计种植方案：（设计的方案越多越好；不同的方案类型不同。）

答案提示：

多边形 篇三

活动目标：

1、通过动手操作，激发幼儿学习图形的兴趣。

2、观察和比较正五边形、正八边形和正十边形，感知其主要特征。

3、培养幼儿观察、辨别的能力。

活动准备：

1、教具准备：挂图“美丽的窗户”

2、学具准备：：“多边形”彩色小珠子、彩色笔若干。用彩纸剪成五边形至十边形卡片（做成伞面）。正五边形、正六边形、正八边形和正十边形纸样。

3、《操作册》p45——46页

活动过程：

1、创设情景：小动物们的房屋装修好了，只乘下窗户没有刷上彩色油漆，我们去帮帮他们吧。

2、出示挂图，引导幼儿观察。看看小动物们家里的窗户一样吗，分别是什么形状的？

3、给每个窗户涂上不同的颜色，它们分别是正五边形、正六边形、正八边形和正十边形。

4、讨论说说在生活动中见过哪些边形的物体如密蜂的蜂房是正六边形的，伞面是八边表的。

5、操作活动。

幼儿拿学具“多边形”，触摸多边形，感知多边形的基本特征。与多边形卡对应摆放，加深地多边形的认识。

6、作业：

（1）、描一描是和边形，并将数字写在图形中间，再把相同的图形连在一起。

（2）、小密蜂迷路了，让我们来帮它找找吧！仔细观察花园里的花坛，数一数它们都是几边形的。按照顺序依次从五边形走到十边形花坛，中间不能重复，请画出线路。

7、作业讲评。

多边形 篇四

第一课时 平行四边形面积的计算教学内容：教材p12～14。

教学目标：

1、使学生通过实际操作和讨论思考，探索并掌握平行四边形面积公式，并能应用公式正确地计算平行四边形的面积。

2、使学生经历观察、操作、测量、填表、讨论、分析、归纳等活动过程，体会“等积变形”思考方法，培养学生的空间观念，使学生初步知道转化的在研究平行四边形面积时的运用。教学重点：理解并掌握平行四边形的面积公式教学难点：理解平行四边形面积公式的推导过程教学用具：教学光盘、剪下教科书第127页上的平行四边形、表格、长方形框架教学过程：一、复习导入  1、说出学过的平面图形：出示长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆等。2、在这些图形中，哪些图形的面积你会求？怎么求？二、探究新知  1、教学例1：（1）出示例1中的第1组图下面的两个图形面积是否相等？在小组里说一说你准备怎样比较这两个图形的面积。学生分组活动后交流。对学生的交流作适当点评，使学生明白两种不同的比价方法都是可以的：数方格比较大小或把左边图形转化后与右边图形进行比较。2）出示例1中的第2组图你还能用刚才的方法比较这两个图形的大小吗？（学生交流，教师适当强调“转化”的方法。）（3）揭示课题：把不熟悉的图形转化成学过的图形，并用学过的知识解决问题，这是数学上一种很重要的方法——转化。今天我们就运用这种方法来研究“平行四边形面积的计算”。（板书课题）

2、教学例2：

（1）出示一个平行四边形你能想办法把这个平行四边形转化成学过的图形吗？

（2）学生操作，教师巡视指导。

（3）学生交流操作情况第一种：①沿着平行四边形的高剪下左边的直角三角形。②把这个三角形向右平移。③到斜边重合。第二种：①沿着平行四边形的任意一条高将其剪为两个梯形。②把左侧的梯形向右平移。③道斜边重合。

（4）课件进行演示并小结。沿着平行四边形的一条高剪开，再通过平移，都可以把平行四边形转化成一个长方形。说说你们为什么要沿着高剪？学生讨论并汇报想法，小结：沿着高剪，能使拼成的图形出现直角，从而符合长方形的特征，能拼出长方形。

3、教学例3：

（1）提问：是不是任意一个平行四边形都能转化成长方形？平行四边形转化成长方形后，它的面积大小会不会改变呢？与原来的平行四边形之间有什么联系呢？

（2）学生操作：请大家拿出从教科书第127页上剪好的任选一个平行四边形，先把它转化成长方形，再求出面积并填写下表。

转化成的长方形

平行四边形

长（cm）

宽（cm）

面积（cm）

底（cm）

高（cm）

面积（cm）

（3）小组讨论：

①转化后长方形的面积与原平行四边形面积相等吗？

②长方形的长和宽与平行四边形的底和高有什么关系？

③根据长方形面积计算公式，怎样求平行四边形的面积？

（4）反馈、交流、抽象出面积公式根据学生总结，

形成下面的板书：

长方形的面积     =  长   ×  宽

平行四边形的面积   =  底   ×  高

（5）用字母表示面公式如果用s表示平行四边形的面积，用a和h分别表示平行四边形的底和高，那么你那能用字母写出平行四边形的面积公式吗？学生回答，并板书：s = a h（板书）

三、巩固练习

1、指导完成试一试要求平行四边形的面积，必须知道什么条件？你能独立计算吗？学生独立完成，完成后说说是怎样列式解答的。

2、指导完成练一练：让学生说说底和高分别是多少？计算时应用什么公式？

3、练习二第1题独立完成练习。说说自己的方法。集体评讲，说说怎样画，形状不一样，但面积一定相等？

4、练习二第2题指出每个平行四边形对应的底和高，再各自测量计算。

5、练习二第5题拿出长方形框架。操作时，一个长方形不动，另一个长方形拉成平行四边形。（1）周长相等吗？面积呢？为什么？（2）连续拉动长方形，面积的变化有什么特点？四、作业

练习二第3、第4题。

五、总结：（1分）通过今天的学习你有了哪些收获？

板书设计：   平行四边形面积的计算

长方形的面积   =  长   ×  宽

平行四边形的面积 =  底   ×  高

多边形 篇五

体会及反思：

1、 在初一旧教材中完成三角形内外角和的教学之后，学生很自然地就会想到对于多边形的情况如何。结合新教材中这一部分内容的编排，所以特意在教学过程中安排了这样一堂活动课，希望对于新课程标准思想有所体现。

2、 为了体现课堂以学生为主，培养学生自主探究的能力，在课前的教学设计中尽量围绕学生展开。如：采取了小组合作学习、组与组之间交流等形式。虽然想法上有此意图，但在具体的实施过程中还是暴露出了很多问题，有事先没预计到的，也有想体现但没体现完整的。经过课后反思及老教师们的指点，主要表现在：

（1）较多的着眼于课堂形式的多样化及学生能力（如：合作、探究、交流等）的培养，而忽视了教学中最重要的知识点的落实。学生练的机会不多，仅有编制习题解答这一部分，且对学生来说要求较高，教师在编题前可先让学生解题，给学生搭好阶梯，使其不至于感到突然。

（2）小组讨论可以说是新教材框架中的一个重要部分，教师事先一定要有详细的计划。这也是本堂课暴露缺陷较多的环节。比如：组员的设置（七、八人一组加上发下的表格较少使得讨论未能有效的开展），以4、5人为一组较为合适，且要分工明确，如谁记录，谁发言等等，避免某些小组成员流离于合作之外。教师还应精心策划：讨论如何有效地开展；时间多长；采取何种讨论方法；教师在讨论过程中又该担当何种角色等。

（3）在小组交流过程中学生的发言过分地注重于探索的结果，而忽视了学生探索过程的展示。同时教师有些总结性的话，限制了学生的思维，不能最大限度的发挥学生自主探究的能力。

（4）教师在教学过程中对学生的评价较为单一，肯定不够及时，表扬不够热情，比如当最后一个平常表现较为一般的学生有此创意时，教师就应大加赞扬，从而也能激发课堂气氛。

虽然整堂课下来出现了较多的漏洞，但我想作为一个新教师的一种尝试也未尝不可。只有通过不断地尝试，不断地失败，我们才能到达胜利的彼岸！

多边形 篇六

教学设计示例1

教学目标：

（1）了解用量角器等分圆心角来等分圆；掌握用尺规作圆内接正方形和正六边形，能作圆内接正八边形、正三角形、正十二边形；

（2）通过画图培养学生的画图能力；

（3）对学生进行审美教育，提高学生的审美能力，促进学生对几何学习的热情。

教学重点：

(1)量角器等分圆心角来等分圆；

(2)尺规作圆内接正方形和正六边形。

教学难点：

准确作图。

教学活动设计：

（一）提出问题：

由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会应是学生必备能力之一。

问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形。

教师组织学生进行，方法不限。

目的：充分发展学生的发散思维。

（二）解决问题：

以下为解决问题的参考方案：(上课时教师归纳学生的方法)

(1)度量法：①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°.

②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.

(2)尺规法：（如上右图）用圆规在⊙O上截取长度等于半径（2cm）的弦，连结AB、BC、CA即可。

(3)计算与尺规结合法：由正三角形的半径与边长的关系可得，正三角形的边长=R=2（cm），用圆规在⊙O上截取长度为2（cm）的弦AB、AC，连结AB、BC、CA即可。

（三）研究、归纳

1、用量角器等分圆：

依据：等圆中相等的圆心角所对应的弧相等。

操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大。

问题2：把半径为2cm⊙O九等份。

（先画半径2cm的圆，然后把360°的圆心角9等份，每一份40°）

归纳：用量角器等分圆，方法简便，可以把圆任意n等分，但有误差。

2、用尺规等分圆：

（1）问题3：作正四边形、正八边形。

教师组织学生，分析、作图。

归纳：只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……

（2）问题4：作正六、三、十二边形。

教师组织学生，分析、作图。

归纳：先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画。

（四）总结

（1）用量角器等分圆周作正n边形；

（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形、用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形。

（五）作业  教材P173中13.

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多边形 篇七

【知识要点】

1.三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次链接所围成的封闭图形叫做三角形

这三条线段叫做这个三角形的边；（AB、BC、CA）

相邻两条边的公共端点叫做这个三角形的顶点；（A、B、C）

相邻两条边所夹的角叫做这个三角形的内角，又叫做这个三角形的角（∠A、∠B、∠C）

三角形的内角的邻补角叫做这个三角形的外角

2.三角形的表示为△ABC

3.三角形的三条重要线段：高、中线、内角平分线（三条高所在的直线都交于一点，这个点叫

做三角形的垂心；三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心；

三条内角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心）

4.三角形内角和定理以及相关的结论

（1）三角形的内角和为180°

（2）直角三角形的两个锐角互余

（3）三角形的外角和为360°

（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

（5）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角

5.三角形的三边关系定理

三角形的任意两边之和都大于第三条边；任意两边之差都小于第三条边

6.三角形具有稳定性

7.：由在同一平面内，不在同一直线上的若干条线段首尾顺次连接所围成的封闭图形叫

做

这些线段叫做这个的边；

相邻两条边的公共端点叫做这个的顶点；

相邻两条边所夹的角叫做这个的内角，又叫做这个的角

的内角的邻补角叫做这个的外角

8.对角线：连结不相邻的两个顶点的线段叫做的对角线

由一个顶点出发的对角线有（n－3）条；（n表示边数）

共有条对角线（n表示边数）

9.的内角和及外角和

（1）的内角和为（n－2）.180°（n表示边数）

（2）的外角和为360°

【阶段练习】

一、回答下列各问题

1.什么是三角形？它有哪些元素？通常用什么符号来表示它及三个角所对的边？

2.为什么屋架、桥梁及电杆的支架多采用三角形的形状？

3.如果△ABC的三条边长分别为（12、13、14）及（10、20、30），这样的三角形能成立吗？

为什么？

4.设△ABC的边长分别为a、b、c，那么这三条边的边长须具有什么条件，才能将△ABC画

出来

5.△ABC中有几条角平分线？试画图说明

6.什么是三角形的高？一个三角形有几条高？三角形的高的位置是否一定在形内？为什么？

试画图说明

7.三角形的一条中线把这个三角形分成两部分，这两个部分的面积有什么关系？为什么？

8.三角形的三个内角分别为α、β、γ，则α＋β＋γ的值是多少？

9.三角形的一个外角与它不相邻的两个内角之间有什么关系？

二、填空题

1.三角形的外角和是内角和的_____________倍

2.四边形的外角和是内角和的____________倍

3.六边形的外角和是内角和的_______________倍

4.一个的内角和是900°，则这个是________边形

三、解答题

已知AC、AD是五边形ABCDE的对角线，求证：AB＋BC＋CD＋DE＋EA>AC＋CD＋DA

多边形 篇八

教学设计示例1

教学目标 ：

（1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理；

（2）通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力；

（3）进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想。

教学重点：

正多边形的概念与的关系的第一个定理。

教学难点 ：

对定理的理解以及定理的证明方法。

教学活动设计：

（一）观察、分析、归纳：

观察、分析：1.等边三角形的边、角各有什么性质？

2.正方形的边、角各有什么性质？

归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点。

教师组织学生进行，并可以提问学生问题。

（二）正多边形的概念：

（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形。等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形。

（2）概念理解：

①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形。（正三角形、正方形、正六边形，…….）

②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？

矩形不是正多边形，因为边不一定相等。菱形不是正多边形，因为角不一定相等。

（三）分析、发现：

问题：正多边形与圆有什么关系呢？

发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆。

分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分。要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形。要将圆六等分呢？

（四）多边形和圆的关系的定理

定理：把圆分成n(n≥3)等份：

(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；

(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。

我们以n=5的情况进行证明。

已知：⊙O中， = = = = ，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的⊙O的切线。

求证：（1）五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形；

（2）五边形PQRST是⊙O的外切正五边形。

证明：（略）

引导学生分析、归纳证明思路：

弧相等

说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形。

(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件。

(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形。

（五）初步应用

P157练习

1、(口答)矩形是正多边形吗？菱形是正多边形吗？为什么？

2.求证：正五边形的对角线相等。

3.如图，已知点A、B、C、D、E是⊙O的5等分点，画出⊙O的内接和外切正五边形。

（六）小结：

知识：（1）正多边形的概念。（2）n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形。

能力和方法：正多边形的证明方法和思路，正多边形判断能力

（七）作业  教材P172习题A组2、3.

教学设计示例2

教学目标 ：

（1）理解正多边形与圆的关系定理；

（2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质；

（3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；

（4）通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；

教学重点：

理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理。

教学难点 ：

对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解。

教学活动设计：

（一）提出问题：

问题：上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形。反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢？

（二）实践与探究：

组织学生自己完成以下活动。

实践：1、作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？

2、作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？

探究1：当三角形为正三角形时，它的外接圆和内切圆有什么关系？

探究2：（1）正方形有外接圆吗？若有外接圆的圆心在哪？(正方形对角线的交点。)

（2）根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？

（3）正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？

（三）拓展、推理、归纳：

（1）拓展、推理：

过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O连结OA、OB、OC、OD.

同理，点E在⊙O上。

所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O.

因为正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等。因此，以点O为圆心，以弦心距(OH)为半径的圆与正五边形的各边都相切。可见正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆。

（2）归纳：

正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上

它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径。

其他两个顶点到圆心的距离都等于半径。

正五边形的各顶点共圆。

正五边形有外接圆。

圆心到各边的距离相等。

正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离。

照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形都有一个外接圆和内切圆。

定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距。正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等。正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角.正n边形的每个中心角都等于 .

（3）巩固练习：

1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______.

2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______.

3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______.

4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等。

（四）正多边形的性质：

1、各边都相等。

2、各角都相等。

观察正三角形、正方形、正五边形、正六边形是不是轴对称图形？如果是，它们又各应有几条对称轴？

3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

4、边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方。

5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

以上性质，教师引导学生自主探究和归纳，可以以小组的形式研究，这样既培养学生的探究问题的能力、培养学生的研究意识，也培养学生的协作学习精神。

（五）总结

知识：（1）正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；

（2）正多边形与圆的关系定理、正多边形的性质。

能力：探索、推理、归纳等能力。

方法：证明点共圆的方法。

（六）作业   P159中练习1、2、3.

教学设计示例3

教学目标 ：

（1）巩固正多边形的有关概念、性质和定理；

（2）通过证明和画图提高学生综合运用分析问题和解决问题的能力；

（3）通过例题的研究，培养学生的探索精神和不断更新的创新意识及选优意识。

教学重点：

综合运用正多边形的有关概念和正多边形与圆关系的有关定理来解决问题，要理解通过对具体图形的证明所给出的一般的证明方法，还要注意与前面所学知识的联想和化归。

教学难点 ：综合运用知识证题。

教学活动设计：

（一）知识回顾

1.什么叫做正多边形？

2.什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？

3.正多边形有哪些性质？(边、角、对称性、相似性、有两圆且同心)

4.正n边形的每个中心角都等于 .

5.正多边形的有关的定理。

（二）例题研究：

例1、求证：各角相等的圆外切五边形是正五边形。

已知：如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，边AB、BC、CD、DE、EA与⊙O分别相切于A’、B’、C’、D’、E’.

求证：五边形ABCDE是正五边形。

分析：要证五边形ABCDE是正五边形，已知已具备了五个角相等，显然证五条边相等即可。

教师引导学生分析，学生动手证明。

证法1：连结OA、OB、OC，

∵五边形ABCDE外切于⊙O.

∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，

又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD.

∴∠BAO=∠OCB.

又∵OB=OB

∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理  BC=CD=DE=EA.

∴五边形ABCDE是正五边形。

证法2：作⊙O的半径OA’、OB’、OC’，则

OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD.

∠B=∠C ∠1=∠2 = .

同理  = = = ，

即切点A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分点。所以五边形ABCDE是正五边形。

反思：判定正多边形除了用定义外，还常常用正多边形与圆的关系定理1来判定，证明关键是证出各切点为圆的等分点。由同样的方法还可以证明“各角相等的圆外切n边形是正边形”。

此外，用正多边形与圆的关系定理1中“把圆n等分，依次连结各分点，所得的多边形是圆内接正多边形”还可以证明“各边相等的圆内接n边形是正n边形”，证明关键是证出各接点是圆的等分点。

拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA.

求证：五边形ABCDE是正五边形。（证明略）

分小组进行证明竞赛，并归纳学生的证明方法。

拓展2：已知：如图，同心圆⊙O分别为五边形ABCDE内切圆和外接圆，切点分别为F、G、H、M、N.

求证：五边形ABCDE是正五边形。（证明略）

学生独立完成证明过程，对B、C层学生教师给予及时指导，最后可以应用实物投影展示学生的证明成果，特别是对证明方法好，步骤推理严密的学生给予表扬。

例2、已知：正六边形ABCDEF.

求作：正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆。

作法：1过A、B、C三点作⊙O.⊙O就是所求作的正六边形的外接圆。

2、以O为圆心，以O到AB的距离(OH)为半径作圆，（www.chayi5.com)所作的圆就是正六边形的内切圆。

用同样的方法，我们可以作正n边形的外接圆与内切圆。

练习：P161

1、求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形。

2、(口答)下列命题是真命题吗？如果不是，举出一个反例。

(1)各边相等的圆外切多边形是正多边形；

(2)各角相等的圆内接多边形是正多边形。

3、已知：正方形ABCD.求作：正方形ABCD的外接圆与内切圆。

（三）小结

知识：复习了正多边形的定义、概念、性质和判定方法。

能力与方法：重点复习了正多边形的判定。正多边形的外接圆与内切圆的画法。

（四）作业

教材P172习题4、5；另A层学生：P174B组3、4.

探究活动

折叠问题：（1）想一想：怎样把一个正三角形纸片折叠一个最大的正六边形。

（提示：①对折；②再折使A、B、C分别与O点重合即可）

（2）想一想：能否把一个边长为8正方形纸片折叠一个边长为4的正六边形。

（提示：可以。主要应用把一个直角三等分的原理。参考图形如下：

①对折成小正方形ABCD；

②对折小正方形ABCD的中线；

③对折使点B在小正方形ABCD的中线上（即B’）；

④则B、B’为正六边形的两个顶点，这样可得满足条件的正六边形。）

探究问题：

（安徽省2002）某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：

甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；

乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形。如图一，△ABC是正三角形，    形， = = ，可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形；

丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形。我想，边数是7时，它可能也 是正多边形。

(1)请你说明乙同学构造的六边形各内角相等。

(2)请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图二)是正七边形(不必写已知、求证).

(3)根据以上探索过程，提出你的猜想(不必证明).

（1）[说明]

（2）[证明]

（3）[猜想]

解：（1）由图知∠AFC对 .因为 = ，而∠DAF对的 = + = + = .所以∠AFC=∠DAF.

同理可证，其余各角都等于∠AFC.所以，图1中六边形各内角相。

（2）因为∠A对 ，∠B对 ，又因为∠A=∠B，所以 = .所以  = .

同理 = = = = = = .所以 七边形ABCDEFG是正七边形。

猜想：当边数是奇数时(或当边数是3，5，7，9，……时)，各内角相等的圆内接多边形是正多边形。

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